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By Josef Trölß

ISBN-10: 321129693X

ISBN-13: 9783211296936

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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Damit können die Reihenglieder beliebig umgeordnet werden (trennen von Realteilen und Imaginärteilen), ohne dass sich dabei die Reihensumme ändert. 2 4 6 · · § § x x3 x5 x x x ¨ e = 1    ....  j ˜ ¨    .... = cos ( x)  j ˜ sin ( x) 2 4 6 © ¹ © 1 3 5 ¹ j ˜x Seite 41 Taylorreihen j ˜x e § x © 2 = ¨1  2 4  x 4 6  x 6 · § x x3 x5 ·    .... = cos ( x)  j ˜ sin ( x) © 1 3 5 ¹  .... 1 %, wenn man sin( D) durch D ersetzt ? sin ( D ) reihe  D  6 o 1 ˜ D  1 6 1 3 ˜D  120 ˜D 5 Wenn wir nach dem ersten Glied die Reihe abbrechen, also nach D, so ist der absolute Fehler sicher kleiner als | -1/6 D3 | (alternierende Reihe).

35: Einige wichtige Anwendungen von Reihenentwicklungen beziehen sich auf die näherungsweise Berechnung von Integralen, für welche keine Stammfunktion existiert. B. elliptische Integrale, Integralsinus, Integralcosinus, Integrale von irrationalen Funktionen usw. Das Prinzip der näherungsweisen Berechnung soll hier am Beispiel der normierten Normalverteilung rechnerisch und grafisch demonstriert werden. x g ( x)  1 2˜ S ˜e 2 2 Die Dichtefunktion der standardisierten (normierten) Normalverteilung.

Grad grafisch dar. f) Stellen Sie den relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. x f ( x)  e x0  0 f ' ( 0) f ( x) = f ( 0)  1 ˜x gegebene Funktion und Entwicklungsstelle f '' ( 0) 2 f ''' ( 0) 2 ˜x  3 3 ˜ x  .... 10 -4 (e ist auf 3 Stellen genau). 01  10 Bereichsvariable 10 x0 8 6 f( x) p ( x) 4 f x0 2 4 2 0 2 2 4 n x  x  x0 Abb. 10 Seite 33 6 3 8 10 Taylorreihen Grafische Darstellung des relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: f ( x)  p ( x) Frel ( x)  if x  0 f ( x) f ( x)  p ( x) f ( x) relativer Fehler in % ˜ 100 otherwise Relativer Fehler 100 Frel( x) 50 n 6 4 2 0 2 3 4 x0 1 6 8 10 x Abb.

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